某岛

… : "…アッカリ~ン . .. . " .. .
February 8, 2021

回国小记

伸手党

回国的航班上想找点书读一读打发一下无聊的飞行时间,第一个想到的就是跟进一下 TAOCP 写完了没有,然后赫然发现前段时间找到的那个棒棒的列有最新 TAOCP 小册子的网站居然 404 了。于是正好这几天在和 doc 交流 pokemon go,感觉一定会得到好的建议,于是他很快就丢过来两本。

有个简单的几何书,还有个博弈论的书
你选一个?

这个简单的几何书我一看书名人就傻了,直接 pass。
后者还是能看进去的。。。

点进去初看怎么感觉行文风格有点接近 TAOCP 和稳操胜券。。。然后发现作者果然是 Conway。。。

后来意识到原来这本就是 ONAG。。On Numbers and Games (ONAG)。
是稳操胜券的姊妹篇。。。

大概 ONAG 和稳操胜券的关系。。有点像是。。
HTSI 和 数学与猜想。。(刚好后者也是两卷)。。

On Numbers and Games

ONAG 这本书在讲述的其实就是 surreal numbers,

众所周知 Knuth 非常喜欢喜欢 surreal numbers,为此还专门写了本奇怪的小说。。

我高一的时候当做睡前读物看过一遍。。但是显然没读懂。。。
原来正确的姿势是先读 ONAG 啊。。。

当然在成书的时候,还没有 Surreal numbers 这个名字。
Conway 在书中直接使用了 Game 这个名字。。。

没错 Conway 认为 Game 是 Number 的一种推广。。
并用 Game 来重新理解 Number。。

书的结构很简单,分为两个部分。。

第一部分介绍抽象的 Surreal Numbers(由于 Game 这个名字容易引起歧义,下文还是用 Surreal Number 来特指书中所述的这种代数结构)。。。
并且用 Surreal Numbers 来降维打击,来得到其他所有我们已知的数。

第二部分介绍 Surreal Numbers 在组合游戏里的一些具体应用。

Surreal Numbers

除了收到组合游戏的启发,Surreal Numbers 另一个来源就是对戴德金分割的重新审视。

首先回顾实数

我们不仅要数单个的对象,而且也需要度量像长度、面积重量和时间这样的量,人们很早就使用分数和比来表示两个量之间的度量关系,直到最后迈出具有决定性的一步,

既:符号 m/n 脱离了它同测量过程中及被测量的量的具体关系,而被看作是一种纯粹的数,它本身作为一个实体与自然数有同样的地位。当 m 和 n 是自然数时,符号 m/n 称为有理数。

之后古希腊人最惊人的发现可能就是发现了不可公度线段。。也就是我们所熟知的无理数,最简单的无理数就是单位正方形的对角线。sqrt(2) 了。

在欧几里得的原本(Elements)中,以几何形式出现的欧多克斯(Eudoxus)的不可公度理论是希腊数学的杰作。直到 19 世纪末期,在戴德金、康托和维尔斯特拉斯建立了无理数的严格理论之后,欧多克斯的这个理论才充分被人理解。我们将用现代算术方法来说明这个理论。

关于无理数的定义有很多种,Conway 单独拎出来说的是戴德金分割。

戴德金分割

  • 假设给定某种,把全体有理数集分为两个集合 L 和 R,使 R
    中的每一个元素 r,大于 L 中的每一个元素 l。对于任意一个这样的分割,存在着三种可能,其中有且仅有一种成立。
  1. L 有最大元素
  2. R 有最小元素
  3. L 没有最大元素且 R 没有最小元素

其中第三种情况,出现了一个有理数之间的 gap,而这个 gap 唯一确定了一个无理数。

相比其他方法(区间套、无限不循环小数),戴德金分割涉及更高程度的抽象,因为它对确定集合 L 和 R 的规则没有加以限制。

Conway 对戴德金分割的批判

Conway 说戴德金分割最有问题的的地方是,

Perhaps the most important is that the rationals are supposed to have been already constructed in some other way, and yet are “recounstructed” as centain real numbers. The distincion between the “old” and “new” rationals seems artificial but essential.

天呐噜,这四舍五入就是说人家在搞“循环论证”啊!

三生万物

所以 Conway 完全舍弃了对有理数先验依赖
让一切从 0 开始。。开始了上帝造数的七分钟。。。

(顺便还去掉了 L 和 R 必须有序的限制。。)

Q:Surreal Numbers 和 Real Number 的关系?
A:前者可以视为后者的推广,去掉了上面 L 和 R 必须有序的限制,使得 Surreal Numbers 不是全序的。。

Q:Surreal Numbers 和 Nim 取子游戏的关系?
A:前者可以视为后者的推广,唯一的区别就是 Nim 取子游戏是 Impartial Game,也就是对于一个特定的状态,当前无论轮到谁走,Alice 和 Bob 所能采取的决策是一样的。

最后我觉得全书最有意思的就是卷首的这个依赖图。。。
第一次看过去完全云里雾里、不知所云。。

读完之后才能发现此图中的奥妙。。。

回国之后

这样看起来我今年的第一个 OKR 貌似就已经完成了!总算可以和家人团聚啦!

至于回国之行本身。。其实实在没啥值得继续描述的。。。
我所遭遇之混沌。。可能是这个时期每个人都必须面对的一门必修课。。

还记得剩余价值去年最后那一期所说,健康码就是这个时代的公民身份。。现在自己对公民身份有了全新的理解了吗?
当然我觉得非常时期各种措施都是必要的。。
我所真正担心的是在疫情结束之后这种措施被常态化。

相比较那些依然奋战在防疫一线的工作人员,那些在分发疫苗过程中的科学家,和那些因为疫情失去健康、甚至被夺去生命亦或是亲人的人们,我所经历的,实在不值一提。