某島

… : "…アッカリ~ン . .. . " .. .
February 8, 2021

回國小記

伸手黨

回國的航班上想找點書讀一讀打發一下無聊的飛行時間,第一個想到的就是跟進一下 TAOCP 寫完了沒有,然後赫然發現前段時間找到的那個棒棒的列有最新 TAOCP 小冊子的網站居然 404 了。於是正好這幾天在和 doc 交流 pokemon go,感覺一定會得到好的建議,於是他很快就丟過來兩本。

有個簡單的幾何書,還有個博弈論的書
你選一個?

這個簡單的幾何書我一看書名人就傻了,直接 pass。
後者還是能看進去的。。。

點進去初看怎麼感覺行文風格有點接近 TAOCP 和穩操勝券。。。然後發現作者果然是 Conway。。。

後來意識到原來這本就是 ONAG。。On Numbers and Games (ONAG)。
是穩操勝券的姊妹篇。。。

大概 ONAG 和穩操勝券的關係。。有點像是。。
HTSI 和 數學與猜想。。(剛好後者也是兩卷)。。

On Numbers and Games

ONAG 這本書在講述的其實就是 surreal numbers,

眾所周知 Knuth 非常喜歡喜歡 surreal numbers,為此還專門寫了本奇怪的小說。。

我高一的時候當做睡前讀物看過一遍。。但是顯然沒讀懂。。。
原來正確的姿勢是先讀 ONAG 啊。。。

當然在成書的時候,還沒有 Surreal numbers 這個名字。
Conway 在書中直接使用了 Game 這個名字。。。

沒錯 Conway 認為 Game 是 Number 的一種推廣。。
並用 Game 來重新理解 Number。。

書的結構很簡單,分為兩個部分。。

第一部分介紹抽象的 Surreal Numbers(由於 Game 這個名字容易引起歧義,下文還是用 Surreal Number 來特指書中所述的這種代數結構)。。。
並且用 Surreal Numbers 來降維打擊,來得到其他所有我們已知的數。

第二部分介紹 Surreal Numbers 在組合遊戲里的一些具體應用。

Surreal Numbers

除了收到組合遊戲的啟發,Surreal Numbers 另一個來源就是對戴德金分割的重新審視。

首先回顧實數

我們不僅要數單個的對象,而且也需要度量像長度、面積重量和時間這樣的量,人們很早就使用分數和比來表示兩個量之間的度量關係,直到最後邁出具有決定性的一步,

既:符號 m/n 脫離了它同測量過程中及被測量的量的具體關係,而被看作是一種純粹的數,它本身作為一個實體與自然數有同樣的地位。當 m 和 n 是自然數時,符號 m/n 稱為有理數。

之後古希臘人最驚人的發現可能就是發現了不可公度線段。。也就是我們所熟知的無理數,最簡單的無理數就是單位正方形的對角線。sqrt(2) 了。

在歐幾里得的原本(Elements)中,以幾何形式出現的歐多克斯(Eudoxus)的不可公度理論是希臘數學的傑作。直到 19 世紀末期,在戴德金、康托和維爾斯特拉斯建立了無理數的嚴格理論之後,歐多克斯的這個理論才充分被人理解。我們將用現代算術方法來說明這個理論。

關於無理數的定義有很多種,Conway 單獨拎出來說的是戴德金分割。

戴德金分割

  • 假設給定某種,把全體有理數集分為兩個集合 L 和 R,使 R
    中的每一個元素 r,大於 L 中的每一個元素 l。對於任意一個這樣的分割,存在著三種可能,其中有且僅有一種成立。
  1. L 有最大元素
  2. R 有最小元素
  3. L 沒有最大元素且 R 沒有最小元素

其中第三種情況,出現了一個有理數之間的 gap,而這個 gap 唯一確定了一個無理數。

相比其他方法(區間套、無限不循環小數),戴德金分割涉及更高程度的抽象,因為它對確定集合 L 和 R 的規則沒有加以限制。

Conway 對戴德金分割的批判

Conway 說戴德金分割最有問題的的地方是,

Perhaps the most important is that the rationals are supposed to have been already constructed in some other way, and yet are “recounstructed” as centain real numbers. The distincion between the 「old」 and 「new」 rationals seems artificial but essential.

天吶嚕,這四捨五入就是說人家在搞「循環論證」啊!

三生萬物

所以 Conway 完全捨棄了對有理數先驗依賴
讓一切從 0 開始。。開始了上帝造數的七分鐘。。。

(順便還去掉了 L 和 R 必須有序的限制。。)

Q:Surreal Numbers 和 Real Number 的關係?
A:前者可以視為後者的推廣,去掉了上面 L 和 R 必須有序的限制,使得 Surreal Numbers 不是全序的。。

Q:Surreal Numbers 和 Nim 取子遊戲的關係?
A:前者可以視為後者的推廣,唯一的區別就是 Nim 取子遊戲是 Impartial Game,也就是對於一個特定的狀態,當前無論輪到誰走,Alice 和 Bob 所能採取的決策是一樣的。

最後我覺得全書最有意思的就是卷首的這個依賴圖。。。
第一次看過去完全雲里霧裡、不知所云。。

讀完之後才能發現此圖中的奧妙。。。

回國之後

這樣看起來我今年的第一個 OKR 貌似就已經完成了!總算可以和家人團聚啦!

至於回國之行本身。。其實實在沒啥值得繼續描述的。。。
我所遭遇之混沌。。可能是這個時期每個人都必須面對的一門必修課。。

還記得剩餘價值去年最後那一期所說,健康碼就是這個時代的公民身份。。現在自己對公民身份有了全新的理解了嗎?
當然我覺得非常時期各種措施都是必要的。。
我所真正擔心的是在疫情結束之後這種措施被常態化。

相比較那些依然奮戰在防疫一線的工作人員,那些在分發疫苗過程中的科學家,和那些因為疫情失去健康、甚至被奪去生命亦或是親人的人們,我所經歷的,實在不值一提。