某島

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January 7, 2020

巴塞爾問題

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

《數學與猜想》是 How to solve it 的續集,相比《怎樣解題》這本小冊子,《數學與猜想》提供了更多的材料。其中令我印象最為深刻的,就是 巴塞爾問題 了。參見《數學與猜想》第一卷、第二章、第六節 —— 由類比作出的發現。

巴塞爾問題 就是著名的平方倒數之和。之所以稱之為巴塞爾問題,因為巴塞爾不僅是歐拉的家鄉,同時也是伯努利家族的家鄉,歐拉的博導是雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)的弟弟約翰·伯努利(Johann Bernoulli)。雅各布·伯努利發現過幾個無窮級數的和,但是他未能找出平方倒數之和 \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\] 的解,雅各布·伯努利因而寫道:「假如有人能夠求出這個我們直到現在還為求出的和並能把它通知我們,我們將會很感謝他。」

由類比作出的發現 —— 歐拉最初的推導

歐拉的發現由觀察正弦函數的 泰勒展開 開始。

$$\sin x = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + \cdots $$

兩邊同時處以 x,得到:

$$ \frac{\sin x}{x} = 1 – \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} – \frac{x^6}{7!} + \cdots $$

顯然 \[\frac{\sin x}{x}\] 的零點都在 \[\pi\] 的整數倍。

接下來,就是歐拉的做法里最牛逼的一步,他把有限多項式的觀察推廣到無窮級數,並假設相同的性質對於無窮級數也是成立的,於是得到。

$$\begin{align}
\frac{\sin x}{x} &= \left(1 – \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 – \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 – \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots \newline \
&= \left(1 – \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 – \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 – \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots
\end{align}$$

最後我們只要比較一下二次項的係數,就可以得到:
$$
\frac{1}{3!} = \frac{1}{6} = -\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots \right) = -\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.
$$

我們發現等式右邊出現了平方反比,化簡一下就可以得到我們開頭的公式:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

黎曼 Zeta 函數

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$$

需要指出的是,歐拉中間的那一步雖然是對的(參見 魏爾施特拉斯分解定理(Weierstrass factorization theorem)),但在當時是並不嚴密的,而那樣的性質也並不是總是成立。但是歐拉確實用這種啟發式的方法提前得到了正確的結果,並且用類似的方法還可以做到一系列的推廣,得到更多當時人們所不知道的結果,例如可以得到 \[\zeta(4) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}\]。

而這隻要把更換最後考察的係數即可,更進一步,我們還能有:

$$\zeta(2n) = \frac{(2\pi)^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2\cdot(2n)!}$$

並且當用這個方法來考察 \[1-sin(x)\] 時,還可以得到萊布尼茲級數,而這在當時是一個已經被證明的結果。

歐拉五年後回到了這個問題,並給出了一個嚴格的證明。

歐拉的想法後來被黎曼在 1859 年的論文《論小於給定大數的素數個數》(On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude)中所採用,並且論文中定義了黎曼ζ函數,這篇論文中也給出了著名的 黎曼猜想

參考資料:
3b1b, 為什麼π出現在這裡?且為什麼它是π的平方?巴塞爾問題的一種幾何解答