某岛

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January 7, 2020

巴塞尔问题

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

《数学与猜想》是 How to solve it 的续集，相比《怎样解题》这本小册子，《数学与猜想》提供了更多的材料。其中令我印象最为深刻的，就是巴塞尔问题了。参见《数学与猜想》第一卷、第二章、第六节 —— 由类比作出的发现。

巴塞尔问题就是著名的平方倒数之和。之所以称之为巴塞尔问题，因为巴塞尔不仅是欧拉的家乡，同时也是伯努利家族的家乡，欧拉的博导是雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）的弟弟约翰·伯努利（Johann Bernoulli）。雅各布·伯努利发现过几个无穷级数的和，但是他未能找出平方倒数之和 $latex \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 的解，雅各布·伯努利因而写道：「假如有人能够求出这个我们直到现在还为求出的和并能把它通知我们，我们将会很感谢他。」

由类比作出的发现 —— 欧拉最初的推导

欧拉的发现由观察正弦函数的泰勒展开开始。

$$\sin x = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + \cdots $$

两边同时处以 x，得到：

$$ \frac{\sin x}{x} = 1 – \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} – \frac{x^6}{7!} + \cdots $$

显然 $latex \frac{\sin x}{x}$ 的零点都在 $latex \pi$ 的整数倍。

接下来，就是欧拉的做法里最牛逼的一步，他把有限多项式的观察推广到无穷级数，并假设相同的性质对于无穷级数也是成立的，于是得到。

$$\begin{align}
\frac{\sin x}{x} &= \left(1 – \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 – \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 – \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots \newline \
&= \left(1 – \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 – \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 – \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots
\end{align}$$

最后我们只要比较一下二次项的系数，就可以得到：
$$
\frac{1}{3!} = \frac{1}{6} = -\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots \right) = -\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.
$$

我们发现等式右边出现了平方反比，化简一下就可以得到我们开头的公式：

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

黎曼 Zeta 函数

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$$

需要指出的是，欧拉中间的那一步虽然是对的（参见魏尔施特拉斯分解定理（Weierstrass factorization theorem）），但在当时是并不严密的，而那样的性质也并不是总是成立。但是欧拉确实用这种启发式的方法提前得到了正确的结果，并且用类似的方法还可以做到一系列的推广，得到更多当时人们所不知道的结果，例如可以得到 $latex \zeta(4) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$。

而这只要把更换最后考察的系数即可，更进一步，我们还能有：

$$\zeta(2n) = \frac{(2\pi)^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2\cdot(2n)!}$$

并且当用这个方法来考察 $latex 1-sin(x)$ 时，还可以得到莱布尼兹级数，而这在当时是一个已经被证明的结果。