某岛

… : "…アッカリ~ン . .. . " .. .
August 29, 2013

积分复化

$$!\int e^{-x}\cos{x} \mathrm{d}x$$

。。。首先教授把分部积分鄙视了一番。。显然这个东西分部积分两次、出现循环得到方程然后就可以解出来。。

分部积分

$$!\int u\mathrm{d}v = uv – \int v\mathrm{d}u$$

(。。这个东西居然正好就是 wiki 页的例题。。。。其实也没教授说的那么 tricky 啦。。
(。。我们看到分部积分的后半部分。。。其实形式上和开始要积的东西一样。。。因此分部积分公式可以反复迭代。。更易于操作的方法是。。对其中一个函数不停的微分。。另一个函数不停的积分。。把对应项乘起来。。然后 + – + – 。。。。直到出现 0 或者循环。。。这个方法可以参见。。 兴大微积分讲义。。我们看到其实分部积分在离散的情况下对应的就是 Abel 求和。。。然后两边分别微分积分换成分别差分累和就行了ww。。。

微分项 (本例中选哪个微分哪个积分影响不大。。。

$$! \cos{x} \rightarrow -\sin{x} \rightarrow -\cos{x} \rightarrow … $$

积分项。。

$$! e^{-x} \rightarrow -e^{-x} \rightarrow e^{-x} \rightarrow … $$

。。两项之后就循环了。。。于是设这个积分等于 $$S$$ 。。。有。。

$$!S = cos{x}-e^{-x} – -\sin{x}e^{-x} – S $$

$$! 2S = e^{-x}(\sin{x} – \cos{x})$$

积分复化

。。因为 $$\cos{x}$$ 可以看成是 $$e^{ix}$$ 也就是 $$\cos{x} + i\sin{x}$$ 的实部。。。所以我们可以先把这个还原成原来的实变量复值函数。。。

$$!\int e^{-x}\cos{x} \mathrm{d}x = \mathrm{Re}(\int e^{(-1+i)x} \mathrm{d}x) $$

。然后就只要对那个指数函数积分。。再取实部就行了。。。。

$$! \int e^{(-1+i)x} \mathrm{d}x = \frac{1}{-1+i} e^{(-1+i)x} = \frac{-1-i}{2} e^{-x} (\cos{x} + i\sin{x})$$

$$!Re(\frac{-1-i}{2} e^{-x} (\cos{x} + i\sin{x})) = \frac{e^{-x}}{2} (\sin{x}-\cos{x})$$