某島

… : "…アッカリ~ン . .. . " .. .
August 29, 2013

積分復化

$$!\int e^{-x}\cos{x} \mathrm{d}x$$

。。。首先教授把分部積分鄙視了一番。。顯然這個東西分部積分兩次、出現循環得到方程然後就可以解出來。。

分部積分

$$!\int u\mathrm{d}v = uv – \int v\mathrm{d}u$$

(。。這個東西居然正好就是 wiki 頁的例題。。。。其實也沒教授說的那麼 tricky 啦。。
(。。我們看到分部積分的後半部分。。。其實形式上和開始要積的東西一樣。。。因此分部積分公式可以反覆迭代。。更易於操作的方法是。。對其中一個函數不停的微分。。另一個函數不停的積分。。把對應項乘起來。。然後 + – + – 。。。。直到出現 0 或者循環。。。這個方法可以參見。。 興大微積分講義。。我們看到其實分部積分在離散的情況下對應的就是 Abel 求和。。。然後兩邊分別微分積分換成分別差分累和就行了ww。。。

微分項 (本例中選哪個微分哪個積分影響不大。。。

$$! \cos{x} \rightarrow -\sin{x} \rightarrow -\cos{x} \rightarrow … $$

積分項。。

$$! e^{-x} \rightarrow -e^{-x} \rightarrow e^{-x} \rightarrow … $$

。。兩項之後就循環了。。。於是設這個積分等於 $$S$$ 。。。有。。

$$!S = cos{x}-e^{-x} – -\sin{x}e^{-x} – S $$

$$! 2S = e^{-x}(\sin{x} – \cos{x})$$

積分復化

。。因為 $$\cos{x}$$ 可以看成是 $$e^{ix}$$ 也就是 $$\cos{x} + i\sin{x}$$ 的實部。。。所以我們可以先把這個還原成原來的實變數復值函數。。。

$$!\int e^{-x}\cos{x} \mathrm{d}x = \mathrm{Re}(\int e^{(-1+i)x} \mathrm{d}x) $$

。然後就只要對那個指數函數積分。。再取實部就行了。。。。

$$! \int e^{(-1+i)x} \mathrm{d}x = \frac{1}{-1+i} e^{(-1+i)x} = \frac{-1-i}{2} e^{-x} (\cos{x} + i\sin{x})$$

$$!Re(\frac{-1-i}{2} e^{-x} (\cos{x} + i\sin{x})) = \frac{e^{-x}}{2} (\sin{x}-\cos{x})$$