On Venn Diagram

昨天的 YellowHat Weekly Meeting 上,Tina Present 了 Sunny 前天画的一幅图,来解释 WTF is YellowHat

当然我一眼就发现这个图是有点问题的。。

。。仔细看的画会发现少了一个区域。。。正好这几天在和 纸喵 一起看《混凝土数学》,所以立刻就去吐槽了。

这个问题的答案当然是不行。。。
因为 n 个圆切割平面的解是 A014206

具体数学上给了一个椭圆的解,Wikipedia 上有非常漂亮的对称版本。

David 很快还给出了一个 5 阶的图。。。

来源:https://m.xkcd.com/2122/

但再往上,三维空间里就很难画出对称的图形了,然后我们自然会问,对于任意 n 阶 Venn 图,在欧几里得空间里是否都有解?
答案是肯定的,在 Wikipedia 里,Venn 本人给出了一个构造解。不过这个解看起来并不优雅,我们进一步提问,是否对于任意 n 阶 Venn 图,都可以用对称的,凸多边形构造出来?

Show that it’s possible to construct a Venn diagram for all 2^n possible subsets of n given sets, using n convex polygons that are congruent to each other and rotated about a common center.

这是《具体数学》里第一个 Bonus Problem,Venn 本人穷极一生也没有得到解。
但令人惊讶的是,这个问题的答案也是肯定的!