某島

… : "…アッカリ~ン . .. . " .. .
January 6, 2020

On Venn Diagram

昨天的 YellowHat Weekly Meeting 上,Tina Present 了 Sunny 前天畫的一幅圖,來解釋 WTF is YellowHat

當然我一眼就發現這個圖是有點問題的。。

。。仔細看的畫會發現少了一個區域。。。正好這幾天在和 紙喵 一起看《混凝土數學》,所以立刻就去吐槽了。

這個問題的答案當然是不行。。。
因為 n 個圓切割平面的解是 A014206

具體數學上給了一個橢圓的解,Wikipedia 上有非常漂亮的對稱版本。

David 很快還給出了一個 5 階的圖。。。

來源:https://m.xkcd.com/2122/

但再往上,三維空間里就很難畫出對稱的圖形了,然後我們自然會問,對於任意 n 階 Venn 圖,在歐幾里得空間里是否都有解?
答案是肯定的,在 Wikipedia 里,Venn 本人給出了一個構造解。不過這個解看起來並不優雅,我們進一步提問,是否對於任意 n 階 Venn 圖,都可以用對稱的,凸多邊形構造出來?

Show that it’s possible to construct a Venn diagram for all 2^n possible subsets of n given sets, using n convex polygons that are congruent to each other and rotated about a common center.

這是《具體數學》里第一個 Bonus Problem,Venn 本人窮極一生也沒有得到解。
但令人驚訝的是,這個問題的答案也是肯定的!