POJ 1180. Batch Scheduling

Brief description:

N個任務排成一個序列在一台機器上等待完成(順序不得改變),這 N 個任務被分成若干批,每批包含相鄰的若干任務。
從時刻 0 開始,這些任務被分批加工,第i個任務單獨完成所需的時間是 Ti。在每批任務開始前,機器需要啟動時間 S,
而完成這批任務所需的時間是各個任務需要時間的總和(同一批任務將在同一時刻完成)。
每個任務的費用是它的完成時刻乘以一個費用係數Fi。請確定一個分組方案,使得總費用最小。(1 <= N <= 10000)

Analysis:

調整 $$T_i$$ 為前綴和,$$F_i$$ 為後綴和。

$$! \begin{aligned} f_i &= \min_{0 \leq j < i}\big\{ f_j + ((T_i+S)-T_j)F_{j+1} \big\} \\ &= \min_{0 \leq j < i}\big\{(T_i+S)F_{j_1} + (f_j - F_{j+1}T_j) \end{aligned} $$ 寫成斜率優化的標準形式,b = kx + y 這裡有:

  • $$k = T_i + S$$
  • $$x = F_{j+1} $$
  • $$y = f_j – F_{j+1}T_j $$

這裡 $$x$$ 和 $$k$$ 均單調,單調隊列即可。


//}/* .................................................................................................................................. */

const int N = int(1e4) + 9;
int _T[N], _F[N], T[N], F[N]; int q[N], cz, op;
LL f[N];
int n, S;

#define k (LL)(T[i]+S)
#define x(j) (F[j+1])
#define y(j) (f[j]-(LL)T[j]*F[j+1])
#define eval(j) (k*x(j) + y(j))

LL det(LL x1, LL y1, LL x2, LL y2){
    return x1*y2 - x2*y1;
}
int dett(int p0, int p1, int p2){
    LL t = det(x(p1)-x(p0), y(p1)-y(p0), x(p2)-x(p0), y(p2)-y(p0));
    return t < 0 ? -1 : t > 0;
}


int main(){

#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif

    while (~scanf("%d", &n)){

        RD(S); REP_1(i, n){
            RD(_T[i], _F[i]);
            T[i] = T[i-1] + _T[i];
        }

        F[n] = _F[n]; DWN(i, n, 0) F[i] = F[i+1] + _F[i];

        int cz = 0, op = 0; REP_1(i, n){
            while (cz < op && eval(q[cz]) >= eval(q[cz+1])) ++cz; f[i] = eval(q[cz]);
            while (cz < op && dett(q[op-1], q[op], i) >= 0) --op; q[++op] = i;
        }

        OT(f[n]);
    }
}

http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewSource.action?id=2801195